Данная статья опубликована в четвертом номере интернет-журнала “Семья и социально-демографические исследования”.

Горшков Вячеслав Алексеевич — доктор технических наук, профессор, ведущий математик,  ФГБУН Институт космических исследований (ИКИ РАН).

Аннотация

Прогноз численности населения является важнейшей характеристикой социально-экономического развития государства. Существующие модели прогноза (по периоду удвоения, линейные, экспоненциальные, параболические, по передвижки возрастов и др.) не учитывают такой важнейший показатель, как функция распределения продолжительности жизни, что существенно снижает их адекватность. Хотя на определенных интервалах времени они достаточно адекватно описывают динамику изменения численности населения.

Прогноз динамики численности населения основан на прогнозе двух противоположных процессов: смертности и рождаемости.

Смертность населения характеризуется функцией распределения продолжительности жизни.

Рождаемость определяется

– количеством женщин в репродуктивном возрасте,

– функцией распределения возраста женщины при рождении детей,

– коэффициентом фертильности.

Эти характеристики позволяют аналитически рассчитать прогноз числа рождений детей.

Смертность населения характеризуется только функцией распределения возраста дожития. Средняя продолжительность предстоящей жизни не дает полной картины распределения продолжительности жизни и не может  полностью характеризовать  состояние общественного здоровья. В литературе и интернете отсутствуют классические вероятностные характеристики продолжительности жизни, такие как функция распределения (интегральная) и функция плотности распределения (дифференциальная).

Аналитический расчет числа рождений и функция распределения возраста дожития позволяет прогнозировать численность населения, как в отдельных возрастных группах, так и ее суммарное значение.

В данной работе рассматриваются альтернативные методы прогнозирования рождаемости и продолжительности жизни, на основании чего  оценивается прогноз и численности населения.

В качестве информационной базы в данной работе используются половозрастные диаграммы 1991 – 2010 гг., представленные на сайте  Федеральной службы государственной статистики.

Для возможности сопоставления фактических показателей в 2011-2014 г. с прогнозируемыми по излагаемой методике использовались возрастные диаграммы 1990-2010 г. Т.е. в работе представлен прогноз, рассчитанный в 2010 г.

В приложениях представлены таблицы значений, по которым осуществлялись расчеты.

Ключевые слова: демография, прогноз, рождаемость, смертность, половозрастная диаграмма, функция распределения, продолжительность жизни, сверточный алгоритм

 

 

Alternative methods of calculation of the distribution of life expectancy, projected fertility and population

Dr.,Professor Gorshkov Vjacheslav Alekseevich

Abstract

The forecast of the population is an important characteristic of socio-economic development of the state. Existing prediction models (period doubling, linear, exponential, parabolic, the advancing ages and others) do not take into account such important factors as the distribution function of the duration of life, which significantly reduces their adequacy. Although at certain intervals they adequately describe the dynamics of the population.

Forecast of the dynamics of a population based on a forecast of two opposite processes: mortality and fertility.

Mortality is characterized by the distribution function of life expectancy.
Fertility is determined by:

– the number of women in reproductive age,

– the distribution function of woman’s age at child’s birth,

– the fertility rate.

These characteristics allow us to analytically calculate the forecast number of births.
Mortality is characterized only by the distribution function of the age of the survivor. The average life expectancy does not give a complete picture of the distribution of life expectancy and may not completely characterize the state of public health. In the literature and the Internet, there are no classical probabilistic characteristics of longevity, such as the distribution function (the integral) and the density function of the distribution (differential).

Analytical calculation of the number of births and the distribution function of the age of the survivor allows us to predict the population in individual age groups, and its total value.
The paper discusses alternative methods for predicting fertility and life expectancy, on the basis of what is estimated forecast and population.
As the information base in this work used the sex age diagrams.

Keywords: demographics, prognosis, fertility, mortality, Sex-Age Diagram, distribution function, lifespan, convolution algorithm

 

Введение

Сложившаяся на сегодня сложнейшая демографическая ситуация в России представляет реальную угрозу ее целостности. Еще большее опасение представляет ее прогноз на ближайшие 10-20 лет, ставящий под сомнение возможную модернизацию страны, ее экономический рост.

Сейчас, как никогда актуально высказывание И.Д.Менделеева «Высшая цель политики яснее всего выражается в выработке условий для размножения людского», опубликованное в знаменитом демографическом труде «К познанию России» вышедшем в 1906 г.

Точность метода Менделеева для прогноза численности населения по отдельным регионам России, для «С.-А.С. Штатов» (США), для Кавказа (т.е. по регионам, в которых не было каких-либо значимых социальных потрясений)  поражает. Д.И.Менделеева анализируя динамику годового прироста численности России в конце ХIХ века для Европейской части России определил, что она описывается геометрической прогрессией с коэффициентом 1,0144-1,018 (1,44-1,8%). Для своего долгосрочного прогноза Д.Менделеевым была принята не усредненная, а «осторожная и вероятная» его оценка – 1,15%.

Рис.1. Рост численности населения России в период 1800-1913 г.

Если для конца 19-го века такая модель вполне адекватна, то для всего столетия, в котором были нашествие Наполеона, крымская война, засухи, голод и пр. , прирост населения был существенно меньше.

Рис.2. Рост численности населения России в период 1925-2030 г.

Для Северо-Американских Соединенных Штатов (США) Д.И. Менделеев предложил регрессионное уравнение 3-го порядка. В переизданной книге издательством «Айрис_Пресс» в 2002 г. Данная модель представлена на стр. 277, копию которой имеет смысл представить полностью (рис.3).

Однако, в представленном виде модель абсолютно не адекватна реальной динамике численности населения США. Ошибка доходит до 400%.

В этой демографической работе Д.И. Менделеев не только детально описывает предложенные модели, но и приводит все необходимые исходные данные для их получения. К сожалению, в большинстве современных отечественных работах такая информация отсутствует, что не дает оценить адекватность приводимых в них прогнозов.

Приведенные в работе исходные таблицы позволяют определить причину такой значительной ошибки.

Рис. 3. Копия страницы 277 книги Д.И. Менделеева, переизданной издательством «Айрис_Пресс»

Данная досадная ошибка обусловлена последним коэффициентом регрессионного уравнения, который должен быть в 10 раз меньше, т.е. формула имеет вид

Конечно, это ошибка не Д.И. Менделеева, а издательства, чему свидетельством является отличие шрифтов текста и формулы. Очевидно, текст отсканирован, а формула явно набрана вновь. Такое неаккуратное отношение к переизданию наших великих исследований недопустимо.

Для современного читателя, вооруженного  компьютерной техникой, такая модель несколько непривычна. Имеется ввиду представление аргумента, как разность текущего года и его среднего значения, поделенная на 10,

Учитывая то, что при получении коэффициентов регрессионного уравнения методом наименьших квадратов необходимо было вычисление 4-х значных значений годов во 2-й, 3-й,…,6-й степени в своем арсенале вычислительных средств Д.И. Менделеев располагал лишь арифмометром Однера. Этим объясняется необходимость снижения значения аргумента в 40 раз.

Рис.4. Рост численности населения США в период 1890-2014 г.

Рис. 4 представляет фактическое изменение численности населения США и прогнозируемое по модели Д.И. Менделеева. Как видно, модель достаточно адекватно описывает динамику численности населения в период 1890-1930 г. Однако, после 30-х годов, несмотря на значительный прирост населения за счет иммиграции, он все же значительно отстает от прогнозируемого.

Следует отметить, существующие модели прогноза (по периоду удвоения, линейные, экспоненциальные, параболические, по передвижки возрастов и др.) не учитывают такой важнейший показатель, как функция распределения продолжительности жизни, что существенно снижает их адекватность. Хотя на определенных интервалах времени они достаточно адекватно описывают динамику изменения численности населения.

Прогноз динамики численности населения основан на прогнозе двух противоположных процессов: смертности и рождаемости.

Смертность населения характеризуется функцией распределения продолжительности жизни.

Рождаемость определяется

– количеством женщин в репродуктивном возрасте,

– функцией распределения возраста женщины при рождении ребенка,

– коэффициентом фертильности.

Эти характеристики позволяют аналитически рассчитать прогноз количества рождений детей.

В данной работе рассматриваются альтернативные методы прогнозирования рождаемости и продолжительности жизни, на основании чего  оценивается прогноз и численности населения.

В качестве информационной базы в данной работе используются половозрастные диаграммы 1991 – 2010 гг., представленные на сайте  Федеральной службы государственной статистики.

Для возможности сопоставления фактических показателей в 2011-2014 г. с прогнозируемыми по излагаемой методике использовались возрастные диаграммы 1990-2010 г.

 

1.     Половозрастные диаграммы

Половозрастная диаграмма представляет распределение женского и мужского населения по возрасту. Ось абсцисс представляет количество людей, по оси ординат – возраст.

На рис.5 представлены распределения населения по возрасту в 2005 г. в Анголе, в стране, в которой в 20-м веке не было каких-либо значимых социальных катаклизмов. Для такой страны вполне естественно, что чем больше возраст, тем меньшая численность населения.

Рис.5. Половозрастная диаграмма Анголы в 2005 г.

Для США на половозрастной диаграмме достаточно наглядно представлено снижение рождаемости после 70-х годов (рис.6).

2

Рис. 6. Половозрастная диаграмма США в 2000 г

На диаграмме Германии 1997 г. видно снижение числа людей в возрасте 50-54 лет, что обусловлено 2-й мировой войной.

Рис. 7. Половозрастная диаграмма Германии в 1997 г.

На рис. 8 представлена возрастная диаграмма, представляющая распределение мужчин по возрасту на 1-е января 1980 г. (возрастная диаграмма женщин практически аналогична). Как видно, диаграмма отражает все социально-экономические катаклизмы, которые имели место в истории нашего государства. Такой сложной диаграммы нет ни у одной страны мира. Следует отметить, что при анализе влияния социально-экономических факторов на рождаемость по понятным причинам половозрастная диаграмма должна быть сдвинута на 1 год (9 месяцев) назад.

Рис. 8. Распределение численности мужчин в России в 1980 г.

На диаграмме видно снижение рождаемости в 60-х годах, что вызвано т.н. «эхом войны», т.е. снижением числа женщин  в репродуктивном возрасте вследствие 2-й мировой войны.

Возрастные диаграммы являются весьма репрезентативными для демографических расчетов. Для их получения необязателен охват всего населения. В различных областях страны они имеют один и тот же вид. Такой же вид имеют диаграммы и для бывших республик СССР.

Так, на диаграммах для Белоруссии 2009 г. (рис.9) помимо провалов, обусловленными вышеизложенными причинами, имеет место значительное снижение рождаемости в 90-е годы.

(http://www.demoscope.ru/weekly/2011/0469/analit01.php).

 

Рис. 9. Распределение численности мужчин в Белоруссии в 2009 г.

Возрастные диаграммы России и Украины практически тождественны (рис.10) (http://www.demoscope.ru/weekly/2010/0405/tema02.php).

Рис. 10. Распределение численности населения  в России и на Украине в 2003 г.

 

 

2.     Расчет распределения продолжительности жизни

Продолжительность жизни характеризуется средней ожидаемой продолжительностью жизни при рождении и  средняя продолжительность предстоящей жизни.

«Ожидаемая продолжительность жизни в возрасте х лет ex и средняя продолжительность жизни e0 равны отношению числа человеко-лет, которое будет прожито в возрасте х лет и старше Tx к числу доживающих до данного возраста   lx.» (Кузьмин А.И. Основы демографии: курс лекций. – М.: РУДН, 2003. – 440 с., Рыбаковский Л.Л. Демографический понятийный  словарь. http://rybakovsky.ru/uchebnik1a18.html, Елисеева И.И. Статистика.  М.: Велби. 2004.- 441 с.)

 

Не совсем понятно значение 100 000 в знаменателе. Почему не 90 000? 110 00? 200 000?…

Но средняя продолжительность жизни не дает (как набившая оскомину характеристика «средняя температура по больнице») полного представления о распределении  продолжительности жизни. Необходимо получение функции распределения или,   как минимум, среднего квадратического отклонения (СКО).

Так при средней продолжительности жизни в 70 лет и при СКО=1 вероятность дожития до 73 лет практически нулевая. А при СКО=2 также нулевой вероятности прожить до 76 лет.

Полную картину дает функция распределения (интегральная) и функция плотности распределения (дифференциальная) продолжительности жизни.

Распределение продолжительности жизни может быть оценено по распределению возраста ухода из жизни. Однако, такой статистики для России в открытой печати и интернете не найдено. В связи с этим, в данной работе оно восстанавливалось по смежным возрастным диаграмм (ВД), размещенным на сайте Росстата [Росстата http://www.gks.ru]. Возрастная диаграмма позволяет определить численность населения в различных возрастных группах и рассчитать средний возраст населения России по формуле

,

где t – возраст,

Nt  – число жителей возраста.

Так средний возраст жителей России в 1990 составлял 34,9 года, а в 1991 – 35,0.

Две смежные диаграммы (рис.11) позволяют получить распределение продолжительности жизни.

Если, например,  на ВД 1990 г. число жителей России в возрасте 40 лет равно 2 362 918, а на ВД 1991года  число жителей России в возрасте 41 год равно 2 357 341. Тогда разность (2 362 918  – 2 357 341 = 5577 ) представляет суммарное число умерших, эмигрантов  и  иммигрантов (со знаком минус). Однако, если сравнить число двухлетних детей 1990 г. (2 454 150) с  числом трехлетних  1991 г.( 2 456 950) ,то их число даже увеличилось на  2 800. Откуда эта прибавка? Погрешность ВД? Доминирующее влияние иммиграции над эмиграцией и смертностью в этой  возрастной группе? Для более адекватной оценки распределения продолжительности жизни необходим учет распределений эмигрантом и иммигрантов по возрасту.  Так включение в рассмотрение эмигрантов приводит к уменьшению оценки средней продолжительности жизни, иммигрантов – к увеличению. Однако, в силу не соизмеримости смертности после 40-50 лет с миграционными процессами их не учет не приводит к существенным ошибкам.

 

Рис. 11. Возрастные диаграммы

При построении функции распределения продолжительности жизни (возраста смерти) были сделаны следующие допущения.

  1. Т.к. последняя возрастная группа  в возрастной диаграмме представляет число жителей, достигших 100 и более лет, будем полагать, что максимальный возраст составляет100 лет. Т.е. доля ушедших возрасте 100 лет и будет равна 1. Это приведет к пренебрежимо малому снижению средней продолжительности жизни.
  2. Чтобы исключить отрицательные значения вероятностей в распределении возраста убытия (из-за иммиграционных процессов), отрицательные значения убытий будут игнорироваться и обнуляются, что приводит к незначительному завышению оценки средней продолжительности жизни.

Число убывших в возрасте t в год τ определяется из смежных возрастных диаграмм по формуле

Где

– число жителей по ВД в год τ в возрасте t,
– число жителей по ВД в год τ-1 в возрасте t-1,

 

На  рис. 12 представлено распределение возраста убытия в 1991 г.

Рис.12. Распределение возраста убытия

Обращает на себя внимание группа ушедших из жизни (и эмигрантов) молодых людей в возрасте 19-22 года (более 30 тыс. человек). Автор не располагает объективными данными, позволяющими адекватно объяснить причину этого факта.

Локальные минимумы и максимумы в 60-х и 70-х годах связаны не с какими-то особенностями медицинского характера, а с неравномерным распределением численности людей различных возрастных групп  (рис.1).

Данная диаграмма позволяет вычислить средний возраст убытия как

.

Так, средний возраст убытия в 1991 г. составлял 68,8 лет

Однако данная величина не является средней продолжительностью жизни, т.к. она зависит от распределения жителей по возрасту, т.е. от ВД.

Если отнести число убывших людей к общей численности соответствующей возрастной группы  (из возрастной диаграммы), получим распределение доли  убытия в соответствующей возрастной группе.

Это доля является ничем иным, как условной вероятностью убытия в возрасте t при условии дожития до него , т.е. не ухода в предыдущие возрастные группы 1,2,…t-1  (рис.13).

Рис.13. Зависимость вероятности ухода от возраста

Как видно, с увеличением возраста, начиная с 50 лет, вероятность убытия монотонно возрастает, что вполне объяснимо и логично. Колебания распределения в области старших возрастов обусловлены низкой статистикой долгожителей.

Для получения распределения продолжительности жизни необходимо вычислить вероятность ухода в данном возрасте, которая будет равна произведению вероятности дожития до данной возрастной группы , т.е. вероятность не ухода в предыдущие возрастные группы 1,2,…t-1 на условную вероятность ухода в текущей возрастной группе t 

.

Поскольку данный метод не учитывает смертность в возрасте до 1-года, вероятность ухода в 1-й год (t =1) определяется как

Вероятность дожития до возрастной группы  t,  т.е. не ухода в предыдущие возрастные группы 1,2,…t-1,  равна произведению вероятностей не ухода  в каждой из предыдущих возрастных групп

.

На рис. 14 представлена зависимость вероятности дожития до возраста t.

Рис. 14. Зависимость вероятности  дожития

Окончательно получаем

Значение вероятности ухода в столетнем возрасте при условии дожития до него принимается равной единице

Рис.15. Вероятность ухода в возрасте  t

Рис.15 представляет зависимость вероятности ухода в возрасте  t , которая численно (поскольку интервал разбиения равен 1-му году) равна выборочной функции плотности распределения возраста ухода (с размерностью [1/год]).

Весьма драматично выглядит интервал в возрасте 19-21 год, который наглядно представляет увеличение доли убытия молодых людей в этом возрасте в начале 90-х годов.

Учитывая то, что интервал квантования составляет 1 год, функция распределения продолжительности жизни (рис.16) численно определяется как

Рис.16. Функция распределения продолжительности жизни в 1991 г.

 

Не трудно убедиться, что сумма всех вероятностей на всем интервале возрастов равна единице

 

Средняя продолжительность жизни определяется как

В 1991 году средняя продолжительность жизни составляла 70 лет. Это значение существенно выше общепринятого.

Приложение 1 представляет исходные данные (возрастные диаграммы) и промежуточные результаты вычислений, позволяющие проверить адекватность проведенного анализа для 1991 года.

Рис. 17.  Функции плотности распределения продолжительности жизни в 2010 г.

 

Функция плотности распределения продолжительности жизни в 2010 г. (рис. 17) трансформировалась из двухмодальной  в 1991 году в логически объяснимую колоколообразную одномодальную функцию.

Рис. 18. Функция распределения возраста ухода из жизни F(t)=P(T<t) в 2010 г.

На рис. 18 представлена функция распределения возраста ухода из жизни в 2010 г., которая позволяет определить вероятности этого события в любые интервалы возрастов.

Следует отметить, что число убывших в возрасте t <30 лет и t >95, определяемое по смежным возрастным диаграммам 2009, 2010 годов, статистически не устойчиво. В этой связи значение функции распределения для данных диапазонов характеризуется существенной погрешностью и её значения целесообразно рассчитывать не по смежным возрастным диаграммам.

На основании данной функции распределения можно получить значения вероятности дожития Pd(t)=1-F(t) до возраста t (табл. 1)

Табл. 1. Вероятность дожития Pd(t)=1-F(t) до возраста t

t

P(t)

t

P(t)

t

P(t)

t

P(t)

t

P(t)

t

P(t)

t

P(t)

  29

0,9987

   39

0,984

49

0,93

59

0,82

69

0,63

79

0,35

89

0,0741

  30

0,9985

   40

0,980

50

0,92

60

0,80

70

0,60

80

0,31

90

0,0553

  31

0,9978

   41

0,977

51

0,91

61

0,78

71

0,58

81

0,28

91

0,0397

  32

0,9971

   42

0,973

52

0,90

62

0,77

72

0,55

82

0,25

92

0,0289

  33

0,9960

   43

0,969

53

0,89

63

0,75

73

0,53

83

0,22

93

0,0191

  34

0,9945

   44

0,964

54

0,88

64

0,73

74

0,50

84

0,19

94

0,0116

  35

0,9927

   45

0,959

55

0,87

65

0,71

75

0,47

85

0,16

95

0,0070

  36

0,9909

   46

0,953

56

0,86

66

0,69

76

0,44

86

0,14

96

0,0036

  37

0,9887

   47

0,946

57

0,85

67

0,67

77

0,41

87

0,11

97

0,0023

  38

0,9864

   48

0,939

58

0,83

68

0,65

78

0,38

88

0,09

98

0,0013

 

Практически на всем 20-летнем интервале происходило увеличение среднего возраста населения России (рис.19).

Рис. 19 Изменение среднего возраста населения

Рис. 20. Средний возраст ухода

 

Средний возраст ухода  (рис.20) коррелирован со средней продолжительностью жизни, но не эквивалентен ей, поскольку определяется распределением жителей по возрасту, т.е. возрастной диаграммой.

Рис.21 представляет изменение средней продолжительности жизни, рассчитанная по изложенной методике, а также данные Росстата, ООН [Life expectancy at birth. http://www.unescap.org/stat/data/syb2008/syb2008_web/index.asp], ЦРУ США [https://www.cia.gov/].

Рис.21. Изменение средней продолжительности предстоящей жизни

 

Аналогично могут быть получены данные характеристики отдельно для женщин и мужчин.

 

3.     Прогноз рождаемости

Изменение численности населения помимо распределения продолжительности жизни определяется также динамикой рождаемости.

Число новорожденных y(t) в год t определяется количеством женщин  y(t) и функцией плотности распределения их возраста при рождении ребенка w(k). При определении функции w(k) на интервале возрастов 0-100 (что приводит к учету только женщин в репродуктивном возрасте) число новорожденных при условии, что все женщины рожают по одному ребенку, вычисляется на основании свертки функций как

.

Учитывая дискретный характер ряда рождаемости, его описание проще проводить c применением дискретного преобразования Лапласа или Z-преобразования.

Свертка функций в Z-преобразовании имеет вид

Таким образом, связь ряда числа рождений с рядом численности женщин описывается динамическим звеном с передаточной функцией, представляющей собой   Z-преобразование функции плотности распределения возраста женщин при рождении (рис.22).

Рис. 22. Связь ряда числа рождений с рядом численности женщин  

Точный расчет рождаемости может быть проведен с помощью структурной схемы, представленной на рис. 22, которая учитывает рождение одного и более детей

Рис. 23. Связь ряда числа рождений с рядом численности женщин с учетом рождений одного, двух и т.д. детей

На рисунке k1,  k2,  k3,  …, kn,  – доля женщин, рожающих одного, двух,  трех и т.д. детей,

W1(z), W2(z), W3(z), …,Wn(z) – Z-преобразование функций распределения женщин по возрасту при рождении 1-го, 2-го и т.д. ребенка.

Однако автор не располагает статистическими данными, позволяющими оценить данные характеристики, в  связи с чем, расчет рождаемости производился по упрощенной схеме (рис. 23), на котором

kf  – коэффициент фертильности,

W(z) – Z-преобразование функций распределения женщин по возрасту при рождении детей.

Рис. 24. Связь ряда числа рождений с рядом численности женщин и с коэффициентом фертильности

 

о – фактические значения

Рис. 25. Прогнозируемые  и фактические значения коэффициента фертильности

Рис. 25 представляет прогноз значения коэффициента фертильности до 2050 года,  сделанный в 2000-м г. различными исследователями и Госкомстатом России (http://www.demoscope.ru/weekly/2002/051/tema02.php) (http://polit.ru/article/2002/01/26/464298).

К сожалению, методика дынных прогнозов нигде не изложена. Особое удивление вызывают прогнозируемые резкие изменения коэффициента фертильности. Что же произойдет в 2027 г., что вызовет такие резкие изменения? Есть информация, что в 26,27 годах будет существенно увеличен материнский капитал?

При таком разбросе прогнозируемых показателей можно было бы констатировать, что с вероятностью равной единице один из этих прогнозов совпадет с реальными значениями.

Однако, ни один прогноз не совпал с фактическими данными для 2014 г., представленными на сайте Википедии (https://ru.wikipedia.org /wiki/%CD%E0%F1%E5%EB%E5%ED%E8%E5_%D0%EE%F1%F1%E8%E8).

Если фактические значения оказались существенно выше самых оптимистичных прогнозов, следует констатировать неадекватность предложенных моделей.

Вместе с тем, можно объяснить такое фактическое увеличение коэффициента фертильности материнским капиталом.

Не понятно также, что имеется ввиду под понятиями «низкий», «средний», «высокий». И как эти качественные понятия входят в математические выражения формул прогноза (если они есть, конечно).

В этой связи в альтернативном  методе прогноза рождаемости, основанном на математических формулах, реализующих сверточный алгоритм, вместо качественных характеристик («низкий», «средний», «высокий») будем расчеты приводить для различных коэффициентов фертильности.

В качестве функции распределения женщин по возрасту при рождении детей w(k) принята функция, представленная на рис. 26.

Рис. 26. Функция распределения женщин по возрасту при рождении детей

Таким образом, согласно структурной схеме, представленной на рис. 22, численность населения определяется фактическим рядом численности женщин и коэффициентом фертильности. Распределение возраста женщин при рождении, в силу равенства единице суммы значений w(k) .

Теоретически ряд численности женщин и коэффициент фертильности относятся к управляемым характеристикам.

Так, например, численность женщин может быть увеличена за счет иммиграции, а коэффициент фертильности – мероприятиями, стимулирующими рождение второго, третьего и т.д. детей, к числу которых относится, конечно, и «материнский капитал».

Но с этими управляемыми характеристиками следует относится с осторожностью, прогнозируя возможные последствия изменения национальной структуры населения.

Рис. 27 представляет прогноз рождаемости, рассчитанный по возрастной диаграмме женщин 2010 года и функции распределения, представленной на рис. 26 без учета функции распределения возраста ухода из жизни, полученной выше.

Рис. 27. Возрастная диаграмма и прогноз рождаемости девочек (F) и всех детей (N) для различных коэффициентов фертильности (kfert)

Как видно, максимум рождаемости в 2010 г. прогнозировался по данной методике на 2014, 2015 годы. Далее прогнозируется её снижение до середины 20-х годов, что объясняется падением рождаемости в 90-е годы. И такой волнообразный характер рождаемости сохранится, как минимум до 60-х годов.

Сейчас опубликовано число рожденных детей в 2014 г. – 1млн. 947 тыс.

Табл. 2 представляет прогноз числа рождений в 2014 г по возрастной диаграмме 2010 г. Для такого числа новорожденных коэффициент фертильности должен быть равен 1,955.

Однако фактический коэффициент в 2014 г. составлял 1,76. Ему соответствует 1,827 млн. рождений.

Т.е. расчётное значение по возрастной диаграмме 2010 г. меньше фактического на 120 тыс. рождений (6,1 %).

Если возрастная диаграмма женщин и коэффициент фертильности соответствуют реальности, то данная ошибка прогноза может быть связана с принятым опрощением модели (рис.23, 24).

Табл. 2. Прогноз числа рождений в 2014 г по возрастной диаграмме 2014 г.

kfert

Nрожд, млн.

kfert

Nрожд, млн.

1,3

1,545

1,8

1,852

1,4

1,606

1,9

1,913

1,5

1,668

2

1,975

1,6

1,729

2,1

2,036

1,7

1,791

2,2

2,097

Для прогноза численности населения необходимо учитывать функцию распределения возраста ухода из жизни.

На рис.28 представлены прогнозируемые возрастные диаграммы до 2061 г., рассчитанные без учета смертности.

Рис.28. Прогнозируемые возрастные диаграммы до 2061 г., рассчитанные без учета смертности при kfert=2,1

 

Рис.29. Прогнозируемые возрастные диаграммы до 2061 г., рассчитанные с учетом функции распределения продолжительности жизни при kfert=2,1

Из данных диаграмм с помощью полученной функции распределения продолжительности жизни рассчитаны возрастные диаграммы (рис. 29), на основании которых можно рассчитать общую численность населения и численность в различных возрастных группах.

Рис. 30 представляет прогноз численности населения при различных коэффициентах фертильности.

Как видно, при любых коэффициентов фертильности во второй половине нынешнего века будет иметь место снижение численности населения России, что является следствием демографической катастрофы 90-х годов.

Рис. 30. Прогноз численности населения при различных коэффициентах фертильности.

 

Рис. 31. Динамика численности населения России по данным прогнозов ООН и Росстата до 2030 года

Интересно сопоставить две диаграммы прогноза, представленных на рис. 30 и на рис.31 (http://demographia.net/journal/2014-04/karpova)

При этом будет происходить перераспределение численности в различных возрастных группах (рис.32).

Рис. 32. Численность населения в различных возрастных группах при различных коэффициентах фертильности

Характерно, что для всех возрастных групп имеет место волнообразный характер изменения численности. Причем, чем меньше величина возрастного интервала, тем в большей степени проявляется гармоническая составляющая в динамике численности.

Наглядно это проявляется на численности школьников.

Численность школьников не являлась постоянной в послевоенный советский период. Рис. 33 представляет общее число детей школьного возраста.  Как видно, численность возрастной группы в школьном возрасте с 70-х годов резко уменьшается, что  обусловле6нно эхом ВОВ. После дальнейшего увеличения, обусловленного увеличением рождаемости в 50-х годах на динамику численности населения в школьном возрасте на второе эхо 2-й мировой войны повлияли и 90-е.

Рис.  33. Численность возрастной  группы в школьном возрасте

Динамика изменения численности школьников различных классов на этом  периоде была различной (рис.34).  Если в 1977 г. разность численности школьников в 11-м классе и в первом составляла порядка 700 тыс., то в 2006-м – порядка 1200 тыс. В процентном отношении данная разность в 1977 г. составляла 33% от средней численности школьников в разных классах, а в 2006 – 67%.

Рис.34. Фактическая численность школьников в разных классах в 1961-2010 г.

Но что нас ждет в предстоящие десятилетия? Рис. 33 представляет динамику изменения численности школьников до 2061 г. Действительно, через 5-6 лет численность школьников увеличится. А после начала двадцатых будет такое же интенсивное сокращение их численности при всех рассматриваемых коэффициентах фертильности.

Рис. 35. Численность детей школьного возраста

 

                

Kfert=1,3                               Kfert=1,5                                Kfert=2,1

Рис.36 Прогноз численности школьников различных классов при различных коэффициентах фертильности

 

На рис.36. представлен прогноз ряды численности школьников различных классов при различных коэффициентах фертильности. Как видно, даже при коэффициенте фертильности kfert=2,1 имеет общая тенденция к снижению общей численности школьников.

Демографическая катастрофа 1990-х годов будет эхом отзываться на численности населения, как во всех возрастных группах, так и на численности всего населения в течение как минимум  текущего столетия.

Численность населения к середине нынешнего десятилетия сравняется с численностью в 1990-е годы (рис.37). Причем динамика увеличения численности во второй половине десятилетия даже будет опережать среднюю динамику роста в 1926-1991 годах. Однако после 2040-х годов численность коренного населения (конечно, без учета миграции) все же будет уменьшаться.

Рис.37. Фактическая и прогнозируемая динамика численности населения России

Данный график позволяет оценить демографический урон, нанесенный в период 1990-2010 гг.

Если предположить, что рост численности населения после 1990-го года был такой же как в период 1926-1991 г. (с учетом голода 1930-х и ВОВ), то путем вычета прогнозируемой численности из данного тренда получаем потери населения, представленные на рис. 38.

Рис. 38. Фактические и рассчитанные потери численности населения для различных коэффициентов фертильности.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложены альтернативные методы расчета распределения продолжительности жизни, прогноза рождаемости и численности населения, основанные ТОЛЬКО на численных демографических показателях (без использования качественных понятий как «низкий», «высокий», «благоприятный» и пр. варианты).

Не все эти численные демографические показатели опубликованы, но, безусловно, известны.

Работа демонстрирует, как получить аналитически прогноз рассматриваемых показателей.

Результаты численных методов прогноза (а точнее расчета) количественных показателей численности населения позволяют оптимизировать работу государственных органов в сфере принятия решений в области демографии.

Например, очень важно сформировать стратегию подготовки и сохранения  преподавателей в школах с учетом «взлетов» и «падений» в разные годы. Кстати, само понятие сохранения преподавателей для годов с характерным «провалом» перед последующим «взлетом» требует  не банальных процедур.

Также данные результаты необходимы в планировании формирования призыва в армию, прогнозе численности абитуриентов и пр.

Политика государства в области пенсионного обеспечения невозможна без расчета соотношения числа пенсионеров и людей до пенсионного возраста в предстоящие периоды.

Следует также отметить, что решая проблему численности населения, следует не забывать и о  его качественном составе.

 

Полученные результаты альтернативных расчетов позволяют констатировать:

  1. Рост рождаемости, обусловленный окончанием второго демографического эха ВОВ, антиалкогольной компанией конца 80-х и повышением коэффициента фертильности, в середине нынешнего десятилетия сменяется на её снижение, что вызвано спадом рождаемости в начале 90-х годов.

  2. Нынешнее десятилетие характеризуется устойчивым повышением коэффициента фертильности, что вызвано эффективной демографической политикой, в том числе и введением материнского капитала.

  3. В последнее десятилетие имеет место также устойчивый рост продолжительности жизни, что видимо, связано с расширением в медицинской практике новейших методов лечения летальных болезней, а также повышением оперативности предоставления скорой медицинской помощи посредством современных средств коммуникации.

 

Приложение. Исходные данные и промежуточные результаты вычислений средней продолжительности жизни всего населения России для 2010 года на основании смежных возрастных диаграмм 2009 и 2010 годов.

 

Возраст, t

ВД 2009, N(t)

ВД 2010, N(t)

Число ушедших, Nd(t)

P(t/t-1), 2010 г.

1-P(t/t-1)

П{1-P(t/t-1)}

f(x)

F(x)

0

1702552

1750177

0

1

0

1

1595785

1700380

2172

0,00

1,00

1,00

0

0,001

2

1465590

1595866

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

3

1442200

1466280

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

4

1485805

1443000

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

5

1460008

1486714

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

6

1374724

1460823

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

7

1281970

1375764

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

8

1273712

1282864

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

9

1252851

1274698

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

10

1304515

1253949

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

11

1276471

1305584

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

12

1329129

1277558

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

13

1395045

1330370

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

14

1452070

1396585

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

15

1448573

1453782

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

16

1674630

1450254

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

17

1839784

1675927

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

18

2073574

1840892

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

19

2224382

2074807

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

20

2399714

2226271

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

21

2558365

2402017

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

22

2574766

2560981

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

23

2485162

2578106

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

24

2554531

2488768

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

25

2601714

2557167

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

26

2470326

2603506

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

27

2296562

2472460

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

28

2325539

2298037

0

0,00

1,00

1,00

0

0,001

29

2198856

2326179

0

0,00

1,00

1,00

0,00000

0,001

30

2186198

2198438

418

0,00

1,00

1,00

0,00019

0,001

31

2154313

2184644

1554

0,00

1,00

1,00

0,00071

0,002

32

2151821

2152672

1641

0,00

1,00

1,00

0,00076

0,003

33

2116890

2149467

2354

0,00

1,00

1,00

0,00109

0,004

34

2070573

2113770

3120

0,00

1,00

0,99

0,00147

0,006

35

1984431

2066804

3769

0,00

1,00

0,99

0,00181

0,007

36

2083896

1980924

3507

0,00

1,00

0,99

0,00176

0,009

37

1966090

2079277

4619

0,00

1,00

0,99

0,00220

0,011

38

1985490

1961464

4626

0,00

1,00

0,99

0,00233

0,014

39

1833487

1980423

5067

0,00

1,00

0,98

0,00252

0,016

40

1806001

1827081

6406

0,00

1,00

0,98

0,00345

0,020

41

1808425

1799782

6219

0,00

1,00

0,98

0,00339

0,023

42

1871825

1801359

7066

0,00

1,00

0,97

0,00383

0,027

43

1910758

1863544

8281

0,00

1,00

0,97

0,00432

0,031

44

2003935

1901550

9208

0,00

1,00

0,96

0,00469

0,036

45

2157435

1992275

11660

0,01

0,99

0,96

0,00564

0,041

46

2307327

2144164

13271

0,01

0,99

0,95

0,00593

0,047

47

2357470

2291920

15407

0,01

0,99

0,95

0,00640

0,054

48

2498030

2340078

17392

0,01

0,99

0,94

0,00703

0,061

49

2362121

2478823

19207

0,01

0,99

0,93

0,00728

0,068

50

2331297

2340090

22031

0,01

0,99

0,92

0,00877

0,077

51

2308029

2308964

22333

0,01

0,99

0,91

0,00893

0,086

52

2211178

2284549

23480

0,01

0,99

0,90

0,00940

0,095

53

2167049

2186651

24527

0,01

0,99

0,89

0,01015

0,105

54

2179538

2140479

26570

0,01

0,99

0,88

0,01111

0,116

55

1949077

2150692

28846

0,01

0,99

0,87

0,01185

0,128

56

2025449

1921455

27622

0,01

0,99

0,86

0,01253

0,141

57

1889042

1994824

30625

0,02

0,98

0,85

0,01319

0,154

58

1855698

1857428

31614

0,02

0,98

0,83

0,01440

0,168

59

1880842

1823561

32137

0,02

0,98

0,82

0,01466

0,183

60

1535246

1843715

37127

0,02

0,98

0,80

0,01645

0,200

61

1502304

1503242

32004

0,02

0,98

0,78

0,01704

0,217

62

1332495

1469784

32520

0,02

0,98

0,77

0,01733

0,234

63

798447

1301140

31355

0,02

0,98

0,75

0,01846

0,252

64

604393

779044

19403

0,02

0,98

0,73

0,01862

0,271

65

545182

588256

16137

0,03

0,97

0,71

0,02000

0,291

66

846868

530105

15077

0,03

0,97

0,69

0,02017

0,311

67

1271628

822838

24030

0,03

0,97

0,67

0,02012

0,331

68

1350469

1232064

39564

0,03

0,97

0,65

0,02147

0,353

69

1466906

1306313

44156

0,03

0,97

0,63

0,02188

0,375

70

1448730

1413505

53401

0,04

0,96

0,60

0,02363

0,398

71

1423640

1391796

56934

0,04

0,96

0,58

0,02462

0,423

72

1136536

1363878

59762

0,04

0,96

0,55

0,02529

0,448

73

964582

1084171

52365

0,05

0,95

0,53

0,02665

0,475

74

744535

915947

48635

0,05

0,95

0,50

0,02789

0,503

75

686474

703721

40814

0,06

0,94

0,47

0,02884

0,532

76

831419

644809

41665

0,06

0,94

0,44

0,03027

0,562

77

760158

778602

52817

0,07

0,93

0,41

0,02973

0,592

78

846394

706175

53983

0,08

0,92

0,38

0,03123

0,623

79

739092

783271

63123

0,08

0,92

0,35

0,03040

0,653

80

728782

675618

63474

0,09

0,91

0,31

0,03259

0,686

81

623386

661066

67716

0,10

0,90

0,28

0,03219

0,718

82

541842

561014

62372

0,11

0,89

0,25

0,03136

0,749

83

432396

483361

58481

0,12

0,88

0,22

0,03033

0,780

84

360409

382323

50073

0,13

0,87

0,19

0,02886

0,808

85

276514

315197

45212

0,14

0,86

0,16

0,02747

0,836

86

206526

238138

38376

0,16

0,84

0,14

0,02644

0,862

87

148611

176371

30155

0,17

0,83

0,11

0,02353

0,886

88

120361

124417

24194

0,19

0,81

0,09

0,02218

0,908

89

85351

100836

19525

0,19

0,81

0,07

0,01779

0,926

90

85439

68088

17263

0,25

0,75

0,06

0,01879

0,945

91

46904

66648

18791

0,28

0,72

0,04

0,01560

0,960

92

38502

36891

10013

0,27

0,73

0,03

0,01078

0,971

93

33422

28713

9789

0,34

0,66

0,02

0,00987

0,981

94

30503

24055

9367

0,39

0,61

0,01

0,00743

0,988

95

18617

21839

8664

0,40

0,60

0,01

0,00462

0,993

96

16960

12476

6141

0,49

0,51

0,00

0,00346

0,996

97

8613

12441

4519

0,36

0,64

0,00

0,00130

0,998

98

8775

6121

2492

0,41

0,59

0,00

0,00092

0,999

99

3061

6723

2052

0,31

0,69

0,00

0,00041

0,999

100

20887

22879

1

0,00094

1,000

Сумма    141 903 979     141 914 509  

1 780 290

  Сумма   вероятностей

1

 
Средний   возраст ухода

38,27

38,39

70,53

Средняя

продолжительность

72